ファイナンシャル・プランニングの「６つの係数」｜数式を理解して知識に差をつけよう

この記事では、ファイナンシャル・プランニングで使われる６つの係数について、その式と使い方、および導出の仕方について説明します

６つの係数

「終価係数」「現価係数」「年金終価係数」「減債基金係数」「年金現価係数」「資本回収係数」と呼ばれる、ファイナンシャルプランニングで使う６つの係数があります。

FP資格試験の３級から出題されるお馴染みなものですが、試験に関係なく、使い方を知っていれば便利な係数です。

なお、FP試験で学習した方も、これらの係数は「3％の金利の場合」などの特定の条件に対して、テーブル形式で与えられるため計算式を意識したことは少ないかもしれません。

ある

私も、FP３級試験で初めて６つの係数を知りましたが、当時は係数の役割だけを暗記していました。

FP2級、1級の試験でも、式を問われるような問題はなかったですね

ある

試験対策としては、式を暗記したことはないですね。

多くの場合、条件が色々異なるのでテーブルより、式から計算した方が応用が効きます。「年利いくらならどうだろう？」「年数を少し伸ばしたらどうなる？」みたいな検討は、式を使った方が楽です。

この記事では、記事を前半と後半に分けて以下ような説明を行います

ある

ファイナンシャル・プランナー（CFP®）兼データサイエンティストということで、導出にも興味がありましたので、今回、少し頑張って導出しました。

私は、数列の分野に興味がある方は後半も一読ください。

FP２級、３級の合格を目指して学習している方は、以下の記事をオススメします

CFPが作成！FP2級の無料Webテキスト（2024）〜「独学で学ぶFP２級：目次」　

独学で学ぶFP2級｜ライフプランニングと資金計画編（２）

６つの係数とは

終価係数$(1 + r)^n$

ある

手持ちのお金を運用すると、将来いくらになるかを計算する係数です

元本が年利率ｒでｎ年間運用した場合に、いくらになるのか計算するための係数です。

ある

ちなみに、FP3級などでは、下記のように係数が与えられます。どの係数を使うかを問う問題が多いです。

	終価係数	現価係数
10年	1.967	０.508

現価係数$(1+r)^{-n}$

ある

数年後にまとまった額を準備したいとき、現在いくら手元にあれば良いかを計算する式です

ｎ年後にX円を準備したいとき、年利ｒで複利運用した場合に元本はいくら必要かを計算する係数

ある

ちなみに、FP3級などでは、下記のように係数が与えられます。どの係数を使うかを問う問題が多いです。

	終価係数	現価係数
10年	1.967	０.508

年金終価係数$\frac{(1+r)^n – 1}{r}$

ある

人気の積立投資に関係する式です。一定額を積立ながら運用すると将来いくらになるか計算できます

毎年一定額を積み立てながら年利率ｒで運用した場合、ｎ年後にいくらになるかを計算するための係数です。積み立て投資の場合は、この係数を使って考えます。

ある

このあたりから計算が面倒になりますがエクセルとかスマホの関数電卓アプリを使えば簡単に計算できます。

減債基金係数$\frac{r}{(1+r)^n – 1}$

ある

目標額を得るために、いくらづつ積み立てれば良いかを計算する式です。使う時期が決まっている、教育資金などに必要な積立額を計算できます。

ｎ年後に目標額を受け取る場合、年利率ｒの場合に毎年いくらづつ積み立てれば良いかを計算するための係数です。

年金現価係数$\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

ある

取り崩しの式です。毎月一定額を受け取るには、資産がいくらあれば良いかを計算できます

現在の資金を年利率ｒで運用しながら、ｎ年間一定額を受け取る場合に資金はいくら必要かを計算するための係数です。積み立てではなく、取り崩す時の係数になります。

資本回収係数$\frac{r}{(1+r)^n – 1}$

ある

主に、ローンの計算に使われる式です。借りたお金を返す場合の返済金額を求めることができます

資産を年利率ｒで運用しながら、ｎ年間一定額を毎年受け取る場合、いくら受け取れるかを計算するための係数です。住宅ローンの計算などにも使えて、その場合は、「借金額を金利ｒでｎ年間で返済するには、いくら払えば良いか」と読み替えます。

ある

カーローンで考えると、300万を金利1.5%で5年で支払うとかになります。すると月に約5.23万円、合計支払金額はおおよそ313.63万円となります。年金利1.5%でも約13.63万余計に払うことになる

ちなみに、同じ5.23万円を5年間金利0.5%で積み立てると約316万円。年金利0.5％でも貯めてから購入すれば16万円分グレードアップできますね

ある

貯めてから買うか、買ってから払うかで結構違うね。

ローンと貯蓄して買うの違いはこちら

発想の転換による節約法の提案：ローンから貯蓄して購入に切り替えた時の金銭的メリットを試算

６つの係数を数学的に導出してみた

ここからは、数学的な内容になります。それぞれの係数を導出してみます。数式を立てるまでがちょっと面倒な係数もありましたがなんとか全部解くことができました。

ある

注意して計算しましたが、もし、間違っていたら指摘してください。

数式エディタの入力ミスもありえるのでよろしくお願いします

終価係数

1年後は$元本\times(1+r)$。

2年だと$元本\times(1-r)\times(1-r)=元本\times(1-r)^2$。

$n$年だと$元本\times (1 + r)^n$。なので、終価係数は$ (1 + r)^n$

これは、等比数列の解の公式でも解けます。

現価係数

終価係数の式から、将来の金額（目標金額）＝元本ｘ終価係数。

元本を左辺にすると、$元本＝\frac{将来の金額}{終価係数}$。

$\frac{1}{終価係数}=(1+r)^{-n}$。これが現価係数

年金終価係数

これを求めるのは少し面倒です。

毎月の積立額を$x$、$n$年後の金額を$a(n)$を定義します。

最初は0円なので、$a(0) = 0$です。

$n+1$年後は$n$年後の金額に$r$の金利がついて、さらに$x$円新たに積立られるので、

$a(n+1) = (1+r)a(n) + x$

という式で表すことができます。この$a(n+1)=p\dot a(n) + q$の形の漸化式は、高校で習ったように漸化式の解き方を使って解くことができます。

特性方程式は、

$$\begin{eqnarray}
\alpha &=& (1+r)\alpha + x\\
-r\alpha &=& x\\
\alpha &=& -\frac{x}{r}
\end{eqnarray}$$

となり、上の式は、

$(a(n+1) – \alpha) = (1+r)(a(n) – \alpha)$と書き直すことができます。

ここで$b(n)=a(n) – \alpha$とすると、

$b(n+1) = (1+r)b(n)$、$b(0) = a(0) – \alpha = \frac{x}{r}$となります。

これを解くと、

$b(n) = \frac{x}{r}(1+r)^n$

$a(n) = b(n) + \alpha = \frac{x}{r}(1+r)^n – \frac{x}{r} = x\frac{(1+r)^n – 1}{r}$

式中の$a(n)$は将来の金額、$x$は積立額ですので、$年金終価係数=\frac{(1+r)^n – 1}{r}$となります。

減債基金係数

これも普通にするとややこしいですが、先ほどの結果を使うと簡単です。

n年後の目標金額を$a(n)$、減債基金係数を$g$とすると、

定義より毎月の積立額$x = g\cdot a(n)$となります。

目標金額は年金終価係数の将来の金額と等しいとして、先ほどの式に代入します。

$a(n) = {g \cdot a(n)}\frac{(1+r)^n – 1}{r}$

これを$g$について解くと、

$g = \frac{a(n)r}{a(n)((1+r)^n – 1)}=\frac{r}{(1+r)^n – 1}$

となります。

年金現価係数

年金現価係数を$g$、ｎ年目の残金を$a(n)$、毎月の受取額を$x$とすると、

$a(n+1) = (1+r)a(n) – x$となります。

式の意味は、n+1年目の残金は、n年目の残高に利子がついて$x$円だけ受け取ったということになります。

最初の元本は、年金現価係数の式から$a(0)=x \cdot g$となります。

これも漸化式で解くことができます。特性方程式は、

$$\begin{eqnarray}
\alpha &=& (1+r)\alpha – x\\
r\alpha &=& x\\
\alpha &=& \frac{x}{r}
\end{eqnarray}$$

となり、上の式は、

$(a(n+1) – \alpha) = (1+r)(a(n) – \alpha)$と書き直すことができます。

ここで$b(n)=a(n) – \alpha$とすると、

$b(n+1) = (1+r)b(n)$、$b(0) = a(0) – \alpha =x \cdot g – \frac{x}{r} $となります。

$b(n) = b(0)(1+r)^n = \frac{x(rg-1)}{r} (1+r)^n $

$a(n) = \frac{x(rg-1)}{r} (1+r)^n + \frac{x}{r}$

ここで、n年目の残高は０、つまり$a(n)=0$なので、これを代入して整理すると、

$g=\frac{(1+r)^n-1}{r(1+r)^n} = \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

となります。

資本回収係数

年金現価係数を積立額と解けばこの式です。

元本＝毎年の受取額ｘ年金現価係数を毎年の積立金について解けば、

毎年の積立金＝元本/年金現価係数となり、資本回収係数が導出できます。

まとめ

前半は、FPが使う6つの係数について説明しました。複利計算、積立計算、ローン計算、色々な場面で使えるので、こういう係数があるというのは覚えておくと便利です。

後半は、数学的に係数を導出してみました。やってみて、高校数学のレベルで導出できることに気づいたのは発見でした。特に、漸化式とかつい最近も学び直ししたばっかりだったりします。

係数がどうやって計算されているかモヤモヤしていた人の役に立ったら嬉しいです。

ある/Aru

ファイナンシャル・プランナー（CFP®）/ 博士（情報工学）

2023年5月に54歳で早期退職。自分の時間ができたのでブログを開設。本職はITエンジニア（専門はデータ分析・機械学習）だが、ファイナンシャル・プランナー（CFP®）資格も保有し活動中。投資歴は20年以上。